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quarta-feira, 4 de março de 2009

Raiz quadrada de números inteiros

Raiz quadrada de números inteiros.




Os números que são quadrados de outro se denominam números quadrados perfeitos. Assim, 0, 1, 4. 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,. .

São quadrados perfeitos.

Veja tabela :

n

Raiz

0

0

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

36

6

49

7

64

8

81

9

100

10

121

11

144

12

169

13

196

14

225

15



n

Raiz

256

16

289

17

324

18

361

19

400

20

441

21

484

22

529

23

576

24

625

25

676

26

729

27

784

28

841

29

900

30



Só os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata.

Não há quadrado perfeito que termine em 2, 3, 7, 8 ou em número ímpar de zeros.


RAIZ QUADRADA APROXIMADA.

Para os números que não são quadrados perfeitos,

consideraremos uma raiz quadrada aproximada conforme veremos a seguir;

Seja , por exemplo, o número 31 ( que não é quadrado perfeito ).

Observemos que:

25 <31<36> 5 2 <31>36

Quadrado perfeito mais próximo e maior que 31

Quadrado perfeito mais próximo e menor que 31.

Daí:

5 é o maior número natural cujo quadrado é menor que 31

6 é o menor número natural cujo quadrado é maior que 31


Costuma-se tomar como raiz quadrada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximada por falta.


















está representação apresenta a aproximação com uma casa decimal

374. Raiz de um numero é um dos fatores iguais que produziram esse numero.

As raízes, bem como as potências, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cúbica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc.

Raiz quadrada de um numero é um dos dois fatores iguais desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5.

Raiz cúbica de um numero é um dos três fatores iguais desse numero; assim a raiz cúbica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4.

A quarta raiz de um numero é um dos quatro fatores iguais desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 =

= 3 X 3 X 3 X 3

375. A figura chama-se sinal radical, e quando está escrito sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo índice.

Índice é o numero escrito no ângulo do sinal radical, para mostrar o grau da raiz; assim

lê-se: raiz quadrada de 16.

lê-se: raiz cúbica de 216.

lê-se: raiz quarta raiz de 625.

lê-se: décima raiz de 1024.

Nota. O sinal é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz.

Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o sinal , ficando subentendido o índice 2.

Qualquer raiz de 1 é sempre 1, porque 1 X 1 X 1 = 1.

376. Os quadrados perfeitos desde 1 até 100 são os seguintes:

Quadrados perfeitos: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Raizes quadradas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez números inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, produtos de dois fatores iguais, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros números intermediários não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos números inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos.

Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada pode ser exatamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exata, que é 8.

Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não pode ser exatamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fração. Esta raiz, por mais aproximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exatamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distingui-la da raiz exata dos quadrados perfeitos.

377. Pela simples inspeção de um numero qualquer, não podemos saber se ele é ou não quadrado perfeito, sem extrair-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou teoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos números não são quadrados. Esses teoremas são os seguintes:

1. Teorema. Todo numero terminado em 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito.

Demonstração. O algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.

2. Teorema. Todo numero terminado por um numero impar de cifras não é quadrado perfeito.

Demonstração. Sendo um quadrado sempre o produto de dois fatores iguais, quando um fator termina em uma, duas ou mais cifras, o quadrado terá o dobro dessas cifras, e por isso elas estarão em um quadrado sempre em numero par; e assim podemos já saber de antemão que os números 1000, 400000 e 750 não são quadrados perfeitos.

3. Teorema. Todo numero par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito.

Demonstração. Todo o numero par é divisível por 2, e se um numero par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 X 2 = 4. Deste modo, já podemos saber que 322 e 1334 não são quadrados perfeitos.

4. Teorema. Todo numero terminado em 5, e que nas dezenas não tem o algarismo 2, não é quadrado perfeito.

Demonstração. Um numero terminado em 5 só pode ter uma raiz terminada em 5, quando tem o algarismo 2 nas dezenas, porque o produto de dois números iguais terminados em 5 finaliza sempre pelos algarismos 25.

Extração da raiz quadrada

378. Extrair a raiz quadrada de um numero é achar o fator que, multiplicado por si, produz esse numero.

Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem três algarismos, porque este numero consta de três classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, pode ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio:

Quantas classes tiver um numero, tantos algarismos terá a sua raiz quadrada.

Problema. Qual é a raiz quadrada de 576?

Solução analítica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades.

Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o produto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.

Formação sintética de um quadrado

373. Um quadrado pode ser também considerado como um conjunto ou soma de parcelas diversas que conservam entre si certa relação, e que podem ser de novo desagregadas por meio de uma decomposição analítica do quadrado.

As diversas partes ou elementos que constituem um quadrado e a relação que ha entre elles estão claramente indicadas no seguinte teorema:

O quadrado da soma de dois numero é igual á soma do quadrado do primeiro numero, mais duas vezes o produto do primeiro multiplicado pelo segundo, e mais o quadrado do segundo.

Este teorema ficará perfeitamente claro com a seguinte ilustração:

Ilustração. Se tomarmos o numero 15, e o dividirmos em dois números quaisquer, como, por exemplo, 8 + 7, e seguirmos depois o processo indicado pelo theorema acima exposto, teremos o seguinte resultado:

1a. Parcella. Quadrado do primeiro numero 8 X 8 = 64
2a. Parcella. Duas vezes o primeiro numero multiplicado pelo segundo (8 X 7) + (8 X 7) = 112
3a. Parcella. Quadrado do segundo numero (7 X 7) = 49
64 + 112 + 49 = 225 Quadrado de 15 15 X 15 = 225

Por uma simples inspecção, vemos que o quadrado de 15 é igual a somma das tres parcellas obtidas por meio dos numeros 8 e 7. Isto é, 15 ao quadrado = (8 X 8) + (8 X 7) + (8 X 7) + (7 X 7) ou 64 + 112 + 49 = 225. A expressão (8 X 7) + (8 X 7) pode ser simplificada ou reduzida a 2 (8 X 7) que exprime exactamente o mesmo valor, porque quer dizer duas vezes o producto de 8 multiplicado por 7, isto é, duas vezes 56 ou 2 X 56.

Se dermos ao numero 15 outra formação qualquer, o resultado será o mesmo; assim

152 = (9 + 6) ao quadrado = (9 X 9) + 2 (9 X 6) + (6 X 6) = 225
152 = (10 + 5) ao quadrado = (10 X 10) + 2( 10 X 5) + (5 X 5) = 225
152 =(11 + 4) ao quadrado = (11 X 11) + 2(11 X 4) + (4 X 4) = 225

Se, em lugar de 15, operarmos com outro numero qualquer, acharemos a mesma relação entre o quadrado desse numero e as duas parcellas que o formarem.

Por este processo synthetico agrupamos ou reunimos em uma somma todas as partes que formam um quadrado; e por um processo opposto, poderemos decompor ou separar novamente essas partes para, por meio dellas, achar a raiz do quadrado. Deste ultimo processo trataremos mais adiante.

A classe da esquerda, que é 5, contém o quadrado das dezenas, porque dezenas multiplicadas por dezenas dão centenas. O quadrado perfeito mais approximado de 5 é 4, e a raiz de 4 é 2; 2 é o algarismo das dezenas da raiz. Ora o quadrado de 2 é 2 X 2 = 4, e subtrahindo 4 de 5, resta uma centena que com a classe seguinte fórma o resto 176.

Como já sahiu o quadrado das dezenas, este resto deve conter duas vezes o producto das

dezenas multiplicadas pelas unidades, mais o quadrado das unidades.

Algarismos das unidades. Desde que o producto das dezenas multiplicadas por um numero inteiro de unidades nunca póde ser inferior a 10, podemos separar do resto 176 o algarismo das unidades, que é 6, para operarmos sómente com as 17 dezenas completas.

Sendo as 17 dezenas duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, segue-se que se dividirmos 17 por duas vezes as dezenas, isto é, por 2 + 2 = 4, obteremos o algarismo das unidades. Ora, 17 / 4 = 4, portanto 4 é o algarismo das unidades da raiz.

Resta agora verificar se o resto 176 contém 2 (20 X 4) = 160, mais 4 X 4 = 16. Ora 160 + 16 = 176, e do resto 176 subtrahindo 176, nada resta.

Fica, portanto, demonstrado que 576 é um quadrado perfeito, e que a sua raiz quadrada é 24.



Fonte: Professor Valdir Paes

Adaptado : Professor - Roberto Carvalho .