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terça-feira, 12 de maio de 2009

Teorema de LAPLACE

Teorema de LAPLACE

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos co-fatores.

Aplicação

Calcule



Procedimentos

I. Escolhe-se uma fila qualquer do determinante:



II. Coloca-se o sinal correspondente à potência (-1)i+j, do cálculo do co-fator, em cima dos elementos da fila selecionada:



III. Multiplica-se cada elemento da fila selecionada, com o sinal do co-fator, pelo seu menor complementar.

det A = a11A11 + a12A12 + a13A13

Regra de CHIÓ

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem n > 3 é necessário abaixar a ordem. Uma das maneiras é usar o Teorema de Laplace. Existe, além disso, uma regra prática dada por Chió que consiste em:

1.º Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1).

2.º Suprimir a linha (i) e a coluna (j) do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do referido elemento.

3.º Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.

4.º Multiplicar o determinante obtido no 3.º item por (-1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1.

Exemplo:

Produto de Matrizes

Produto de um Número Real por uma Matriz

Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij




Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz

Se A e B são matrizes de mesma ordem e e são números reais, valem as seguintes propriedades:

a) 1A = A

b) . (A + B) = A + B

c) . (b . A) = ( . b) . A

d) ( + b) . A = . A + b . A

e) ( . A)T = . AT

Produto de Matrizes

Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.



A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.

Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.

Propriedades do Produto de Matrizes
Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:

a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA)

b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA)

c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA)

d) I É A IDENTIDADE

e) (A . B) = A . (B) = . (A . B)

f) (A . B)T = BT . AT

Observações Importantes:

1.ª A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA.

2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o anulamento do produto, isto é, podemos ter A . B = 0 mesmo com A 0 e B 0.

3.ª Não vale também a simplificação, isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A 0 e B C.

Matriz Inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, denominada inversa de A, tal que:


Operações com Matrizes

Matriz Identidade ou Matriz Unidade



Matriz Transposta (At)

É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.

Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij = aij.



Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.



Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada A tal que At = A, isto é, aij = aij para i j.




Matriz Anti-simétrica


É uma matriz quadrada A tal que At = -A , isto é, aij = -aij para i e j quaisquer.




Operações com Matrizes


Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.



Propriedades da Igualdade

- Se A = B, então At = Bt

- (At)t = A

Adição e subtração de Matrizes

A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.

A subtração de matrizes é dada pela sentença:

A – B = A + (– B )





Propriedades da adição de Matrizes

a) A + B = B + A (COMUTATIVA)

b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)

c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO)

e) (A + B)T = AT + BT (TRANSPOSTA DA SOMA)

Fórmula do Termo Geral

Fórmula do Termo Geral

CLASSIFICAÇÃO

Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva.

Exemplo:

(4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva)

2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa.

Exemplo:

(10, 7, 4, 1, –2, –5)→ r = – 3 < 0 (negativa)

3. Constantes – São aquelas cuja razão é nula.

Exemplo:

(6, 6, 6, 6) →r = 0


FÓRMULA DO TERMO GERAL
Para obter o enésimo termo de uma P.A., basta somar (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo. Com isso, podemos achar qualquer termo dentro de uma PA pela expressão:

an = a1 + (n - 1) . r

Em que:

an é o enésimo termo (termo geral);

a1 é o primeiro termo;

n é o número de termos;

r é a razão.

Aplicação
Qual é o quinto termo da P. A. (3, 6...)?

Solução:

a1 = 3

r = 6 – 3 = 3

n = 5

an = a1 + (n - 1) . r

a20 = 3 + (5 – 1). 3

a20 = 3 + 4.3

a20 = 15


INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA


Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois termos extremos a e b de uma progressão aritmética significa obter uma P. A. com (k + 2) termos.

Equações exponenciais

Equações exponenciais

Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita a ser determinada comparece como expoente.

Para resolver uma equação exponencial, você deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os expoentes para recair numa equação comum.

Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base. Para resolvê-las, freqüentemente é conveniente utilizar uma variável auxiliar.

Aplicações

01. Resolva a equação 5x = 125.

Solução:
5x = 125→ 5x = 5 3 →x = 3


02. Resolva a equação 32x + 4.3x + 3 = 0.

Solução:
A expressão dada pode ser escrita na forma:

(3x)2 - 4.3x + 3 = 0

Fazendo 3x = y, temos:

y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3
Como 3x= y, então 3x= 1 x = 0 ou 3x = 3 x = 1

Portanto, S = {0,1}.
Inequações exponenciais

Dada uma desigualdade de potências, sendo an > am:

1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e maiores que 1, é maior a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade é conservada)

1.° caso: a > 1