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sábado, 16 de maio de 2009

Circunferência: Posições Relativas

As relações de posição entre elementos no plano constituem a base de diversos estudos para a geometria analítica. As posições relativas entre circunferência e reta e posições relativas entre duas circunferências serão abordadas e representadas a seguir.

Posições relativas entre circunferência e reta

Reta externa à circunferência

A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência.
D > R

Reta tangente à circunferência

A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida.
D = R




Reta secante à circunferência

A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.
D <>


Posições relativas entre duas circunferências

Não possuem pontos em comum

Externas
D > r1 + r2


Internas
D <>


Possuem um ponto em comum

Tangentes: as circunferências possuem um ponto em comum.

Tangentes internas
D = r1 – r2

Tangentes externas
D = r1 + r2


Possuem dois pontos em comum

Secante: possuem dois pontos em comum.

r1 – r2 <>





Circunferências concêntricas

São circunferências que possuem o mesmo centro, não existindo distância entre eles.
D = 0

Cilindro Circular

Cilindro Circular

Sejam α e β dois paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.

Cilindro circular reto

Cilindro circular reto é todo cilindro circular cujas geratrizes são perpendiculares aos planos das bases.

Em todo cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360º de uma região retangular em torno de um eixo que contém um de seus lados.

Cilindro eqüilátero

Todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero.

No cilindro eqüilátero a altura é igual ao diâmetro da base:

Área Lateral e área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r.
Para entender essa afirmação, retire as bases de um cilindro, corte sua superfície lateral sobre uma geratriz e, por fim, planifique (coloque sobre um plano) as três regiões obtidas.




A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2 π r h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2 π r h + π r2 + π r2 → At = 2π r h + 2π r2

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π r 2 h





Polígonos

Polígonos

Em geometria, uma figura plana (duas dimensões) com três ou mais lados. Os polígonos comuns têm nomes que definem o número de lados (por exemplo, triângulo, quadrilátero, pentágono).

Polígonos regulares


Triângulo - 3 lados


Quadrilátero – 4 lados

Pentágono - 5 lados


Hexágono - 6 lados

Heptágono - 7 lados

Octágono - 8 lados

Obs. Estas figuras são regulares.

Estes são todos polígonos convexos, sem nenhum ângulo interno maior do que 180º;. A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula (2n - 4) x 90º; então, quanto mais lados um polígono tiver, maior a soma dos seus ângulos internos e, no caso de um polígono convexo, mais se aproxima de um círculo.

Triângulo

Em geometria, uma figura plana de três lados, cuja soma dos ângulos interiores totaliza 180º. Os triângulos podem ser classificados pelo comprimento relativo dos seus lados. Um triângulo escaleno tem três lados de comprimentos diferentes; um triângulo isósceles tem pelo menos dois lados iguais; um triângulo equilátero tem três lados iguais (e três ângulos iguais de 60º).

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90º.Se o comprimento de um lado de um triângulo for "b" e a distância perpendicular daquele lado ao vértice oposto "a" (a altura do triângulo), a sua área A = ½* b * a.

Regular

Diz-se das figuras geométricas que têm todos os ângulos e todos os lados iguais. Diz-se, também, dos sólidos em que as bases são polígonos regulares.





Geometria Espacial

Poliedros

Definição

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R3. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro.

As interseções das faces são as arestas do poliedro.

As interseções das arestas são os vértices do poliedro.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180o. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Relações de Euler

Se V é o número de vértices, F é o número de faces, A é o número de arestas e M é o número de ângulos entre as arestas de um poliedro convexo, então:

V + F = A + 2

M = 2 A

Poliedros Regulares

Um poliedro é dito regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Existem algumas características gerais que são válidas para todos os poliedros regulares. Se n é o número de lados da região poligonal, a é a medida da aresta A e z=M/V é a divisão do número de ângulos diedrais pelo número de vértices, então:


Faces, Vértices, Arestas e Ângulos diedrais nos Poliedros regulares convexos

Nome do poliedro
Número de faces
Poligonal regular
No. de vértices
No. de arestas
Número de ângulos entre arestas
Tetraedro
4
Triangular
4
6
12
Hexaedro
6
Quadrada
8
12
24
Octaedro
8
Triangular
6
12
24
Dodecaedro
12
Pentagonal
20
30
60
Icosaedro
20
Triangular
12
30
60





Poliedros regulares convexos e côncavos





Em geometria, uma figura sólida com quatro ou mais lados planos. Quanto mais faces um poliedro tiver, mais se aproxima de uma esfera. O conhecimento das propriedades de um poliedro é necessária em cristalografia e estereoquímica para determinar as formas dos cristais e das moléculas.

Os cinco tipos de poliedros regulares convexos mais conhecidos (com todas as faces com o mesmo tamanho e forma), tal como havia já sido deduzido pelos matemáticos gregos; são o tetraedro (quatro faces triangulares equiláteras), o cubo (seis faces quadradas), o octaedro (oito triângulos equilaterais), o dodecágono (12 pentágonos regulares) e o icosaedro (20 triângulos equiláteros).

Os cinco poliedros regulares convexos ou sólidos platonicos




Sólido platonico

Em geometria, outro nome para um poliedro regular, uma das cinco possíveis figuras tridimensionais com todas as faces com o mesmo tamanho e forma.

Tetraedro

Em geometria, uma figura sólida (poliedro) com quatro faces triangulares; isto é, uma pirâmide com uma base triangular. Um tetraedro regular tem como faces triângulos equiláteros.

Em química e cristalografia, um tetraedro descreve as faces de algumas moléculas e cristais; por exemplo, os átomos de carbono num cristal de diamante encontram-se no espaço como um conjunto de tetraedros regulares inter-relacionados.

Dodecaedro

Sólido regular com 12 faces pentagonais e 12 vértices. É um dos cinco poliedros regulares, ou sólidos platónicos.

Octaedro regular

Sólido regular com oito faces, sendo cada uma um triângulo equilátero. É um dos cinco poliedros regulares ou sólidos platónicos. A figura formada pela união dos pontos médios das faces é um cubo perfeito e os vértices do octaedro são eles próprios os pontos médios das faces de um cubo envolvente. Por esta razão, o cubo e o octaedro denominam-se sólidos duais.



Os cinco poliedros regulares convexos: I - Tetraedro, II - Cubo, III - Octaedro, IV - Dodecaedro e V- Icosaedro são conhecidos desde a Antiguidade, como já referimos.

Deve-se a Kepler (1571-1630) a descoberta do primeiro poliedro regular côncavo - o dodecaedro estrelado de faces regulares representado na figura (VI).

O dentista Francis Louis Poinset (1777-1859) acrescentou a esta lista, em 1809, três novos poliedros regulares não convexos (VII, VIII e IX). Foi, no entanto, Cauchy quem demonstrou que somente existem estes nove poliedros regulares.

Note-se que cada poliedro regular côncavo resulta do prolongamento das faces de um poliedro regular convexo que lhe serve de núcleo, como é visível no dodecaedro estrelado de Kepler (VI) que resulta do prolongamento do dodecaedro (IV).

CALCULO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

FORMULA

d = n ( n - 3 ) / 2

exemplo :

Calcule o número de diagonais do hexágono

hexágono = 6 lados

em d = n ( n - 3 ) / 2 substituindo n por 6 teremos :

d = 6 ( 6 - 3 ) / 2 = 6 . 3 / 2 = 18 / 2 = 9

O hexágono possui nove lados .

Triângulo

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.


Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, conseqüentemente, 3 ângulos: Â , , Ĉ ou A C, BĈA, BÂC.

►Tipos de triângulos

O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.


Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.



Triângulo eqüilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.

O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.


Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.


Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.


Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.

►Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.



| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:


14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 <>

PG - Progressão Geométrica



P.G representada em uma função gráfica.

Progressão Geométrica

Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:

a2 : a1 = 6 : 3 = 2
a4 : a3 = 24 : 12 = 2
a5 : a4 = 48 : 24 = 2

Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3


TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a1, a2, a3, ... , an) uma P.G de razão q. Temos:

a2 : a1 = q → a2 = a1 . q

a3 : a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q²

a4 : a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:

an = a1 . qn – 1

Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:

Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a1 = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a1 . q9 → a10 = 1 . 39 → a10 = 19683

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a1, a2, a3, ..., an) de razão q ≠ 1.

Somando todos os termos dessa P.G:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:

q . Sn = q (a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an - 1 + an) = a1 . q + a2 . q + a3 . q + … + an-1 . q + an .

q . Sn = a2 + a3 + a4 + … + an + an .q (II)

Fazendo (II)(I), temos:
q . Sn – Sn = ( a2 + a3 + … + an-1 + an + an . q) - (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)
Sn . (q – 1) = an . q – a1
Como an = a1 . qn – 1 , vem:
Sn . (q – 1 ) = a1 qn – 1 . q - a1, isto é,


Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola



Logaritmos

Logaritmos

1 - INTRODUÇÃO


O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras.


Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos.


Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.


Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.



Outros exemplos:
15
2 = 225, logo: log15225 = 2
6
3 = 216, logo: log6216 = 3
5
4 = 625, logo: log5625 = 4
7
0 = 1, logo: log71 = 0



2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.


Exemplos:


a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.



Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.


Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional

e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,

logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de

logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.


Exemplos:

a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que

101,6532 = 45.


3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:


P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
log
b1 = 0 porque b0 = 1.


P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.


P3) logbbk = k , porque bk = bk .


P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).


P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.


3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS


P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN


Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.


P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN


Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então

10-1,6990 = 0,02.


Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.


Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).


Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.


P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.


P4 - MUDANÇA DE BASE


Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.


Exemplos:

a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)

b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)

c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.


Notas:

1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.


2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:

a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).

b) logba . logab = 1


Exemplos:

a) log37 . log73 = 1

b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850


4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R
® R+* ; y = ax , 0 <>¹ 1

Esta função é bijetora, pois:

a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.

b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.


Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 <>¹ 1.
Permutando x por y, vem:

x = ay \ y = logax


Portanto, a função logarítmica é então:

f: R+* ® R ; y = logax , 0 <>¹ 1.


Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica

( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 <>¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.




















Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:


1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.

2 - para 0 <>¹ 1, elas são DECRESCENTES.

3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .

4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.

5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.

6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .

7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.


Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 - Se S é a soma das raízes da equação log2 x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor
de 1073 - 10S.


SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y2 - y - 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,

logx = 2 OU logx = -1


Como a base é igual a 10, teremos:

log10x = 2 \ x = 102 = 100

log10x = -1 \ x = 10-1 = 1/10


As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.

Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resposta: 72

2 - Calcule o valor de y = 6x onde x = log32 . log63 .

SOLUÇÃO:

Substituindo o valor de x, vem:

y = 6log32 . log63 = (6log63)log32 = 3log32 = 2

Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM = M , vista anteriormente.

Resposta: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520 é:
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 520 = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO:
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658
\ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 102 = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resposta: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log52
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resposta: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53 . , então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35

3 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.
Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2 ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x2 - y2
= (x - y) (x + y)

Progressão Aritmética, PA

Progressão Aritmética, PA



Matemática Por Paulo Marques

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada
termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão
an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.


4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... ,
a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5


SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 <>

Portanto, n(16 – 2n ) <> 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33


SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a
equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60


SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12,
1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 =
60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1


SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376


SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral
an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965


SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.

Logo, o centésimo termo será:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k,
determine 10k + r : 320.
Resposta: 36

Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83.
Resposta: 3, 5 e 7.