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terça-feira, 21 de julho de 2009

ALFABETO GREGO

Moda e mediana

Estatística

Moda e mediana


A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência central de um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para "resumir", em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.

Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.

A partir das medidas das alturas de um grupo de pessoas, é possível calcular uma altura que caracteriza o grupo todo.

Conhecendo as notas de um aluno durante um semestre da faculdade, é possível calcular uma nota que "resume" a sua situação no semestre.

Com base no número de gols de um time, em várias partidas de um campeonato, é possível chegar a um número de gols que descreva a sua situação no campeonato.

Observando os tempos de viagem de um determinado ônibus, em várias viagens, é possível se chegar a um valor que indica, em geral, o tempo dessa viagem.

Moda
Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.

Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.

Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.

As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Mediana
Mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.

Exemplos:

As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.

A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:

Página 3

Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.

Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:

- os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;
- se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;
- se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor.

Fonte:

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

Elipse

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c >
0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a >
c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c <
a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a



onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:


Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2 =
b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:



que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como a2 – c2 = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos
b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

Curiosidades

Escala Richter

Terremoto é medido em escala logarítmica

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Você pode não se dar conta, mas no Brasil também há terremotos. Eles costumam atingir, no máximo, 5 graus da escala Richter - ou seja, são de pequena intensidade. E é exatamente por isso que você não os sente. Entenda como funciona essa escala. A escala Richter (que foi criada em 1935 pelos cientistas Charles Francis Richter e Beno Gutemberg) é uma escala logarítmica.

Nesse tipo de escala, a diferença de uma unidade (terremoto de escala 5 e 6, por exemplo) é, na verdade, uma grande diferença. Um terremoto de magnitude 6 na escala Richter é 10 vezes mais forte do que um de escala 5 (comum no Brasil). Um terremoto magnitude 7 é 100 vezes mais destruidor do que um de escala 5 e um de magnitude 8 é 1000 vezes mais terrível.

Veja só a tabela abaixo:

EFEITOS
Menos de 3,5 Geralmente não é sentido, mas pode ser registrado
3,5 a 5,4 Freqüentemente não se sente, mas pode causar pequenos danos
5,5 a 6,0 Ocasiona pequenos danos em edificações
6,1 a 6,9 Pode causar danos graves em regiões onde vivem muitas pessoas
7,0 a 7,9 Terremoto de grande proporção, causa danos graves
de 8 graus ou mais Terremoto muito forte. Causa destruição total na comunidade atingida e em comunidades próximas

*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Curiosidades

Deflação e inflação

A dança dos preços


Deflação é exatamente o oposto de inflação

As notícias referentes à economia muitas vezes usam a palavra deflação. O termo pode causar dúvidas, já que é menos comum que o seu oposto - a inflação. Ou seja, enquanto a inflação se refere ao aumento geral dos preços, a deflação é a queda.

Se o índice geral de preços ao consumidor sobe, pode-se dizer que houve inflação no período. Se os preços caem, houve deflação.

O que determina a inflação e a deflação é a média geral de preços e não de um produto isolado. Se apenas o preço do pão francês sobe ou desce durante um período, isso não pode ser chamado de inflação ou deflação. Houve apenas uma redução ou aumento no valor do produto.

Deflação é algo bom?


Se deflação quer dizer queda de preço - e queda de preço que dizer que você vai gastar menos -, muito provavelmente você deve ter pensado: "deflação é algo bom". Mas a questão não é tão simples. É que a deflação também pode querer dizer que a economia não vai bem.

No caso da economia brasileira, a deflação está geralmente relacionada à queda da atividade econômica, que é refletida na perda de poder aquisitivo da população. Ou seja, se as pessoas estão comprando pouco - porque têm pouco dinheiro -, os comerciantes são obrigados a abaixar os preços. Vendem mais barato para não falir, e assim têm menos lucro.

Câmbio

Entenda a conversão de moedas


Entenda como funcionam as operações de câmbio, isto é, trocas de moedas, feitas a cada vez que você viaja para fora do Brasil, ou quando compra algum produto importado em moeda estrangeira.

Veja a tabela abaixo:

MOEDA
COTAÇÃO
Dólar americano
R$ 2,33
Franco suíço
R$ 1,77
Libra esterlina
R$ 4,04
Libra síria
R$ 0,044
Peso argentino
R$ 0,77

Ela representa a cotação de 4 moedas estrangeiras em relação ao nosso real em um certo dia.

Analisando a tabela vemos que para comprar 1 dólar americano precisamos de 2,33 reais; para comprar 1 franco suíço de 1,77; para a libra esterlina (Grã Bretanha) de 4,04. Mas para se comprar 1 real precisa-se de 22,73 libras sírias e para 1 peso argentino 1,30 reais.

Força e fraqueza

No dia em que essas cotações foram extraídas, o real estava mais forte do que a libra síria e do peso argentino e mais fraca do que o dólar, o franco e a libra esterlina.

Mas é importante lembrar que o que faz uma moeda ser forte ou fraca em relação a uma outra não é a sua cotação pontual. A moeda é um espelho da economia de um país, então, a questão depende das condições econômicas que os países apresentam. O euro, quando foi criado, valia menos que o dólar. Agora vale cerca de 20% mais. Dessa maneira pode-se verificar que, ultimamente o dólar tem perdido força.

Dólar paralelo, oficial e turismo

Existem no Brasil três mercados de dólares, o paralelo, o oficial e o turismo. Teoricamente estes mercados são independentes entre si e regulados pelas leis de oferta e procura.

O mercado oficial é onde as empresas importadoras e exportadoras compram e vendem os dólares das suas transações com o exterior. Também as empresas multinacionais recorrem a este mercado quando querem mandar lucros para o a matriz ou quando recebem dinheiro vivo para investimentos.

O mercado de dólar turismo é usado tanto pelo turista que quer viajar para fora do Brasil como para o turista que vem ao Brasil e troca seus dólares por reais.

O mercado paralelo ou mercado negro é usado por contraventores que usam o caixa 2, que agora está sendo chamado eufemisticamente de "dinheiro não contabilizado", para mandar ou receber dinheiro vivo do exterior.

Caixa 2
Só por curiosidade, fique sabendo que toda empresa tinha sua contabilidade, sujeita à fiscalização, escriturada em um livro chamado "livro caixa". Para controlar tudo o que se queria esconder da fiscalização, e do pagamento de impostos, escriturava-se um segundo livro o "livro caixa 2".

Voltando aos mercados do dólar eles são independentes porque são três tipos de clientes e normalmente não há a interferência entre eles.

Oferta e procura
Às vezes "pesos pesados" atuam em um deles e afetam a lei da oferta e procura, por exemplo, quando o governo federal tem que pagar alguma parcela grande de empréstimos feitos em bancos do exterior, o Banco Central compra milhões ou até bilhões de dólares no mercado oficial afetando a cotação para cima.

A lei de oferta e procura diz que se muita gente que comprar um produto e ele não tem uma oferta abundante o preço sobe, e ao contrário se um produto tem muita abundância e poucos compradores o preço cai.

Fonte:

*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u1.jhtm

Estatística

Estatística

Conceitos para entender pesquisas

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Às vésperas das eleições, os jornais trazem a manchete: "31,6% devem votar no candidato A". E o que isso quer dizer? Que o candidato será eleito? Para entender esse tipo de enunciado, é necessário compreender alguns conceitos de estatística, a área da matemática que cuida da probabilidade.
gráfico de pizza
Representação gráfica com porcentagens. Note que o total das partes dá 100%.
Para entender uma pesquisa eleitoral, por exemplo, é necessário conhecer alguns conceitos:

População é o universo que vai ser tema da pesquisa. No caso das pesquisas eleitorais, os eleitores brasileiros.

Como seria quase impossível consultar mais de 125 milhões de eleitores, delimita-se o número de entrevistados, o grupo que vai servir de amostragem.

Amostragem é um número reduzido de pessoas que representa a população total. Escolher quais pessoas serão entrevistadas é um problema complexo.

Se metade dos eleitores são mulheres e ser mulher é um fator que interfere no voto, então metade da amostragem deve ser de mulheres. Se a classe social a que pertence o eleitor interfere no voto, a amostragem deve se aproximar ao máximo das diversas classes sociais que formam a população.

Desse modo, se cada pessoa entrevistada representa o voto de 100.000 pessoas da população, cada entrevistado deve ser uma amostra, a mais fiel possível, dessas 100.000 pessoas.

Apesar de todo cuidado para escolher o público, e para calcular as previsões, os resultados não são exatos. Tanto que toda reportagem, de jornal ou televisão, deve exibir uma margem de erro da pesquisa.

Normalmente 3 ou 4 pontos percentuais para mais ou para menos.

Para entender como são feitos os cálculos, também é importante ter algumas noções básicas de estatística: média, desvio padrão e variância.

Média, desvio padrão e variância

Noções de estatística

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Quanto foi a sua média de matemática no último bimestre? Um dos conceitos mais básicos e cotidianos da estatística, a média nada mais é que um valor que "representa" vários outros. Com os exemplos a seguir, você vai ver que é fácil.

Imagine que, no bimestre, João fez cinco atividades que valiam nota nas aulas de matemática. Ele começou bem, mas terminou o bimestre mal. Tirou as seguintes notas: 9, 7, 5, 3, 2.

Qual será a sua média no fim do bimestre?

Para facilitar os cálculos, vamos adotar o seguinte padrão: S é a soma das notas, e n é o número de notas que ele teve.

A média (M) será:

reprodução


Note que a sua média não é igual a nenhuma das notas que ele tirou. É um número que mostra, mais ou menos, como João foi no bimestre.

Medidas de dispersão

Muitas vezes, a média não é suficiente para avaliar um conjunto de dados. Por exemplo, quando se fala em um grupo de mulheres com idade média de 18 anos. Esse dado, sozinho, não significa muito: pode ser que no grupo, muitas mulheres tenham 38 anos, e outras tantas sejam menininhas de dois!

É importante, então, conhecer outra medida, a de que diferença (dispersão) existe entre a média e os valores do conjunto.

Voltando ao exemplo das notas de João, podemos calcular o desvio, que é a diferença de cada nota em relação à média:

Notas

Média
Desvio
9
5,2
3,8
7
5,2
1,8
5
5,2
- 0,2
3
5,2
- 2,2
2
5,2
- 3,2


Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Cada desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somados:

Valores
Média
Desvio
Quadrado dos desvios
9
5,2
3,8
14,44
7
5,2
1,8
3,24
5
5,2
- 0,2
0,04
3
5,2
- 2,2
4,84
2
5,2
- 3,2
10,24
Soma dos quadrados dos desvios
32,8


A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância.

Logo:



Outro valor que pode ser obtido a partir da média e da variância é o desvio padrão. Como os desvios foram elevados ao quadrado, deve-se tirar a raiz quadrada da variância e achar o desvio padrão:



Só para se ter uma idéia melhor do que significa o desvio padrão veja o seguinte exemplo:

Notas: (9, 9, 9, 1, 1, 1)

A média será:



E o desvio padrão será Dp = 4 (tente calculá-lo por conta própria).

Note que, apesar de esse aluno ter tido média 5, seu desempenho foi muito irregular (variou de 4 pontos! 5+4 =9 e 5-4 = 1), o que não é tão bom assim.

No exemplo anterior pode-se interpretar que as notas, no geral, variaram entre (5,2 + 2,56) = 7,76 e (5,2 - 2,56) = 2,64 , ou seja, Joãozinho teve desempenho mais regular que esse outro aluno.

Nota do autor

por motivos didáticos, utilizamos a fórmula do desvio padrão para amostragem (com n) e não a do desvio padrão para universos (com n-1).
*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

O tamanho do infinito

Matemática

O tamanho do infinito
Descubra fatos e propriedades surpreendentes sobre os conjuntos que não têm fim!

1,2,3... Estes são os números naturais, nesta ordem. Cada um dos naturais tem um único sucessor, obtido quando a ele somamos o 1. Os naturais podem ser pensados como símbolos que representam certas quantidades. Foram e serão sempre necessários para se contar objetos.

Contar um conjunto de objetos é associar a cada um deles um número natural, começando do 1 e indo na seqüência crescente. Isso significa que estamos pondo em cada objeto uma etiqueta identificadora. Ou então podemos pensar que estamos vestindo os objetos com camisetas numeradas, uma para cada objeto diferente. Quando acabamos de fazer isso, ou seja, quando acabamos de contar, o número na camiseta do último objeto é a quantidade de elementos -- ou de objetos -- do conjunto.

O maior de todos os números, para uma criança, pode ser 100, 1000 ou 10.000.000.000.000. Mas, se nos perguntarmos seriamente sobre o maior número natural, não será difícil perceber que ele não existe. Imaginemos que de fato ele exista e que tenha um nome. Vamos chamá-lo de "longínquo". Ora, se cada número é sempre seguido por um sucessor, depois do "longínquo" virá "longínquo" + 1, que irá roubar de "longínquo" a qualidade de último e maior de todos os números.

Assim, os números naturais são um exemplo de um conjunto infinito, ou seja, que não tem fim, não acaba nunca. O símbolo do infinito (um "oito deitado") representa esta idéia de algo a que nunca se chega.

Experimente perguntar a seus amigos o que é infinito e peça exemplos de conjuntos infinitos. Você vai ouvir que são infinitos os grãos de areia na praia, ou o número de gotas no oceano, ou de estrelas no céu. Analisando esses exemplos, podemos entender melhor o que é infinito.

Serão infinitos os grãos de areia da praia de Copacabana? Não sei. Vamos contar. Para isso, temos que ir à praia munidos de uma caixinha de fósforos vazia. Depois, temos que olhar bem a paisagem, calculando aproximadamente as muitas medidas do lugar. O comprimento da orla é de cerca de 5 quilômetros e a extensão da faixa de areia é de mais ou menos 50 metros. Vamos dizer também que a profundidade da camada de areia seja de 100 metros.

Acabado o passeio, voltamos para casa, sem esquecer de encher a caixa de fósforos com areia da praia. Mas faça isso sem apertar os grãos. Limpamos uma mesa bem grande e jogamos sobre ela o conteúdo da caixa de fósforos, espalhando o melhor possível os grãos. A idéia é a de que, sobre a mesa, fique uma camada de areia com uma área calculável e a espessura de apenas um grão.

Depois de estimar a área da camada espalhada, separamos um quadrado de 1 centímetro de lado e contamos, nele, todos os grãos de areia, com a ajuda de uma lupa e um estilete. Isso vai dar um trabalhão, mas depois fica mais fácil. Basta multiplicar a quantidade de areia contada pela área da camada de areia e, depois, pelo volume estimado da praia de Copacabana, mantendo a coerência entre as unidades métricas. Se contarmos 10 milhões de grãos na caixa de fósforos, que deve ter um volume de 10 cm3, obteremos um total de.

Ou seja, chegamos à ordem de grandeza de 1020 grãos de areia. Pronto. Este é um número finito, que pode até ser escrito num pequeno pedaço de papel.

O artigo acima foi originalmente publicado em
Ciência Hoje na Escola volume 8 - Matemática.