1.200.000 VISUALIZAÇÕES! OBRIGADO!!

domingo, 18 de abril de 2010

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:

* Se L <> ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO
TESTE
SÉRIE
CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA
COMENTÁRIOS
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO Image1.gif (932 bytes) DIVERGE se Nada se pode afirmar se series10.gif (490 bytes)
SÉRIE GEOMÉTRICA series36.gif (517 bytes) * CONVERGE e tem soma se | r | <>* DIVERGE se | r | maior.gif (296 bytes) 1

Útil para testes de comparação
SÉRIE-P series26.gif (497 bytes) * CONVERGE se p > 1

* DIVERGE se p menor.gif (295 bytes) 1

Útil para testes de comparação
da COMPARAÇÃO no limite Image1.gif (932 bytes)e series38.gif (391 bytes)

an > 0, bn > 0

* Se , series39.gif (354 bytes), então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.

* Se e CONVERGE, então CONVERGE.

* Se e DIVERGE, então DIVERGE.

A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.

de LEIBNIZ ALTERNADA

series40.gif (524 bytes)

an > 0

CONVERGE se:

*

* A série dos módulos é decrescente.

Aplicável somente a séries alternadas.

Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.

SÉRIE-P

SÉRIE-P

series26.gif (497 bytes)

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p1

Se p = 1, a série

é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

series28.gif (1137 bytes)

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

series34.gif (1019 bytes)

ou

Séries de potência de (x-c):

series32.gif (1297 bytes)

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

TEOREMA

TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA

Dada a série , diverge.



SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO: com adiferente.gif (293 bytes)0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

A série geométrica

Converge e tem soma se | r | <>

Diverge se | r | 1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam e duas séries de termos positivos. Então:

* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se e se converge, então também converge.

* Se e se diverge, então também diverge.

OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

series19.gif (491 bytes)

series20.gif (492 bytes)

series21.gif (453 bytes)

é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

series22.gif (1524 bytes)

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.