1.200.000 VISUALIZAÇÕES! OBRIGADO!!

sábado, 10 de julho de 2010

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, V= {58}.

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.


EQUAÇÕES BIQUADRADAS

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática

  • Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade:.

  • Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

y2 - 3y = -2

y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

  • resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125

Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

  • Compor a equação biquadrada cujas raízes são:


Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0

x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .


SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU & PROBLEMAS DO 2º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192


Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

  • Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
  • Resolva a equação ou o sistema de equações.
  • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

  • Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

  • Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18
x ( x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

  • Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

  • Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Fonte : somatematica