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sexta-feira, 8 de outubro de 2010

O Volume do Barril Elíptico


O Volume do Barril Elíptico

Já apresentei uma fórmula para calcular o volume de um barril, ajustando a curva resultante da interseção de um plano que passa pelo seu eixo a uma parábola.

Na prática, a fórmula usada para calcular o volume de um barril é dada por

[;V = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2) \qquad (1);]

que é obtida admitindo que a curva interseção é uma elipse centrada na origem e de semi-eixos [;a;] e [;b;] cuja equção cartesiana é dada por

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\qquad (2);]

O primeiro passo para deduzir a expressão [;(1);]é escrever [;a;] e [;b;] em função de [;D;], [;d;] e [;h;]. Substituindo o ponto [;(0,D/2);] em [;(2);], temos

[;\frac{0^2}{a^2} + \frac{D^2/4}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{D^2}{4};]

Analogamente, substituindo o ponto [;(\frac{h}{2},\frac{d}{2});], segue que

[;\frac{h^2/4}{a^2} + \frac{d^2/4}{D^2/4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{h^2}{4a^2} = 1 - \frac{d^2}{D^2} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{h^2}{4a^2} = \frac{D^2 - d^2}{D^2} \quad \Rightarrow \quad\frac{1}{a^2} = \frac{4(D^2 - d^2)}{D^2h^2};]

Sendo [;dV = \pi y^2dx;], segue que

[;dV = \pi b^2\biggl(1 - \frac{x^2}{a^2}\biggr) = \pi \frac{D^2}{4}\biggl(1 - \frac{4x^2(D^2 - d^2)}{D^2h^2}\biggr)dx \quad \Rightarrow;]

[;dV = \frac{\pi}{4h^2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]

[;V = 2\times\frac{\pi}{4h^2}\int_{0}^{h/2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]

[;V = \frac{\pi}{2h^2}\biggl[D^2h^2x -4(D^2 -d^2)\frac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{h/2}\quad \Rightarrow;]

[;V = \frac{\pi h}{2}\biggl[\frac{D^2}{2} - \frac{(D^2 - d^2)}{6}\biggr] = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2);]

É comum expressar esta fórmula em função dos raios das bases: [;r = d/2;] e [;R = D/2;]. Substituindo esses valores em [;(1);], tem-se

[;V = \frac{\pi h}{3}(2R^2 + r^2);]

Exemplo 1: Calcule o volume de um barril de vinho de altura [;h = 80\ cm;], diâmetro da base média [;D = 40\ cm;] e diâmetro da base inferior ou superior [;d = 30\ cm;].

Resolução: Usando a expressão [;(1);], temos

[;V = \frac{\pi 80}{12}(2\cdot 40^2 + 30^2) = \frac{82000\pi}{3}\ cm^3 \simeq 85870\ cm^3;]

Observação 1: Entende-se também por barril como uma unidade para petróleo líquido (geralmente petróleo cru) igual a [;158,987294928;] litros se for barril stadunidense ou a [;159,11315;] litros se for barril imperial britânico. O barril é representado por bbl, com os seus múltiplos Mbbl (mil barris) e MMbbl (um milhão de barris).

Fonte: Wikipédia.
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