MATEMÁTICA CURIOSA: 06/01/2011

quinta-feira, 23 de junho de 2011

FLUXO DE CAIXA

FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)ⁿ , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como

FV = PV (1 + i) ⁿ

Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i)ⁿ

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Solução:

FV = 1500 . (1 + 0,02)¹² = R$ 1.902,36

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan5.php

Relação entre juros e progressões

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:
M( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + r )ⁿ

Portanto:

num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a )
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²
Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

Exemplos:

1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
1 + i_a = 1,08²
i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + i_a = (1 + i_m)¹²
1 + i_a = (1,005)¹²
i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplo:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,25 1,25¹²= 1,1608

TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/finan4.php

quinta-feira, 16 de junho de 2011

Seção, Área e Volume da Esfera

Seção da Esfera

Toda seção plana de uma esfera é um círculo.

Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a relação.

Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera.

Área da esfera

A área de uma superfície esférica de raio r é igual a 4

r².

A = 4

r²Volume da esfera

Aplicação

Uma esfera é secionada por um plano a 8cm do centro; a seção obtida tem área 36cm2.

Determinar a área da superfície da esfera e seu volume.

Solução:
Inicialmente, devemos considerar a área da seção:

36 = . s² →s = 6cm

s² = r² - d^2→ 6² = r² - 8² r = 10cm

A = 4r² = 4 . 10² →A = 400cm2

Volume da esfera

Fonte :http://www.colegioweb.com.br/matematica/secao-da-esfera.html

Euler e os cinco sólidos platónicos

Nesta entrada afirmei que só existiam cinco poliedros regulares convexos, com faces iguais, os chamados sólidos platónicos, cuja justificação se podia deduzir da relação de Euler. Mas é preciso estabelecer condições adicionais que estes sólidos verificam. É o que explico a seguir, na chamada prova topológica.

A equação que relaciona o número de faces $F$ , vértices $V$ e arestas $A$ de um poliedro

$F+V=A+2\;\qquad$ , (1)

aplicada ao cubo ( $F=6$ faces, $V=8$ vértices, $A=12$ arestas), traduz-se na igualdade

$6+8=12+2$

e, aplicada ao tetraedro, que é uma pirâmide equilátera ( $F=4$ faces, $V=4$ vértices, $A=6$ arestas), em

$4+4=6+2$ .

Num poliedro regular convexo (um segmento de recta que una quaisquer dois dos seus pontos não sai para fora do poliedro), em que cada face tem $n$ lados iguais, se multiplicar o número de faces $F$ por estes $n$ lados, conto as arestas duas vezes. Porquê? Porque cada aresta é a intersecção de duas faces adjacentes. No caso do cubo, em que as faces são quadrados ( $n=4$ ) isto traduz-se em:

$6\times 4=2\times 12$ .

Para o tetraedro, cujas faces são triângulos equiláteros ( $n=3$ lados), pelo mesmo motivo, se multiplicar o número de faces por estes $3$ lados , obtenho

$4\times 3=2\times 6$ .

No caso geral de um poliedro regular convexo, em que cada face tem $n$ lados iguais, devido à dupla contagem será então:

$nF=2A\Leftrightarrow F=\dfrac{2A}{n}$ .

Voltando ao cubo, em que cada vértice é o ponto de encontro de $m=3$ arestas, se multiplicar agora o número de vértices por estas $3$ arestas, obtenho o dobro do número de arestas, porque também estou a contar cada aresta duas vezes, em virtude de cada aresta unir dois vértives:

$8\times 3=2\times 12$ .

Fazendo o mesmo para o tetraedro, $m=3$ , obtenho, pelo mesmo motivo

$4\times 3=2\times 6$ .

O caso geral, em que cada vértice de um poliedro regular convexo é o ponto de encontro de $m$ arestas, traduz-se em

$mV=2A\Leftrightarrow V=\dfrac{2A}{m}$ .

Assim, um poliedro regular convexo verifica a dupla igualdade

$nF=mV=2A\;\qquad$ , (2)

em que $n$ é o número inteiro de lados de cada face poligonal e $m$ o número inteiro de arestas que se intersectam em cada vértice, pelo que a equação (1) é equivalente a

$\dfrac{2A}{n}+\dfrac{2A}{m}=A+2$

ou a

$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}\;\qquad$ . (3)

Esta equação corresponde, no caso particular do cubo a

$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$

e no do tetraedro a

$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}$ .

Mas há duas restrições aos possíveis valores inteiros de $m$ e $n$ : uma, em virtude do número de arestas ser positivo, é

$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2n+2m>mn\;\qquad$ (4)

e a outra, porque o poliedro é um sólido tridimensional,

$m\ge 3\;\qquad$ . (5)

O número de lados $n$ de cada face define a sua forma poligonal: para $n=3$ é o triângulo equilátero, $n=4$ , o quadrado, $n=5$ , o pentágono regular. Será que num poliedro regular convexo $n$ poderá ser igual a $6$ ? Vamos ver que não.

Para $m=3$ a equação (3) assume o valor particular

$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{6}$ .

e, pela restrição (4)

$2n+6>3n\Leftrightarrow n<6\qquad$

conclui-se que $3\le n\le 5$ . Os dois casos vistos acima são o tetraedro, que corresponde a $n=3$ e o cubo, a $n=4$ . Para $n=5$ , vem

$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{30}$

donde $A=30$ , $V=\dfrac{60}{3}=20$ e $F=32-20=12$ . Este poliedro regular com $12$ faces é o conhecido dodecaedro.

Para $m=4$ , a mesma equação (3) passa a ser

$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{4}$

e agora a restrição (4),

$2n+8>4n\Leftrightarrow n<4\;\qquad$ ,

isto é, $n=3$ . O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente, $A=12$ , $V=\dfrac{24}{4}=6$ e $F=14-6=8$ . É o octaedro, com oito faces que são triângulos equiláteros.

Para $m=5$ , (3) é a equação

$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{10}$

e a condição (4)

$2n+10>5n\Leftrightarrow n<\dfrac{10}{3}<4\;\qquad$

logo, é também $n=3$ . O número de arestas, vértices e faces são, respectivamente, $A=30$ , $V=\dfrac{60}{5}=12$ e $F=32-12=20$ . É o icosaedro, com vinte faces que são triângulos equiláteros.

Para $m\ge 6$ , a primeira forma de (4)

$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}\;\qquad$

permite estabelecer

$\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{m}\ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow n<3,\qquad$

o que contraria a restrição (5). Isto prova que $3\le n\le 5$ e que só há os cinco sólidos platónicos atrás referidos.